Complejidad, Caos y Sistemas Biológicos

Jorge Farbiarz F.* y Diego Luis Alvarez M.
Médico, Especialista en Ingeniería Biomédica, estudiante de la maestría en Bioingeniería en la
línea de Bioseñales e Inteligencia Artificial.
Profesor de fisiología de la Universidad de Antioquia y de la Universidad Pontificia Bolivariana.
Profesor del postgrado de Ingeniería Biomédica U.P.B.
Profesor de la Maestría en Biofísica de la Universidad de Antioquia
Investigador del Centro de Investigaciones en Salud de la Facultad de Medicina U.P.B.
Grupo de Bioseñales e Inteligencia Artificial U. de A. – U.P.B.

Correspondencia: Jorge Farbiarz F.: gbia@usa.net, Calle 3 # 43 B 48

Resumen

La física y las matemáticas han sido utilizadas por el hombre para explicar los fenómenos naturales que observa. La teoría del caos y los fractales son términos cada vez mas encontrados en diversos ámbitos sin que la medicina sea una excepción.

Con esta revisión, se pretende dar a conocer de manera sencilla y breve, los principales conceptos de la teoría de caos y los fractales y la manera como pueden ser utilizadas como herramientas de estudio de los sistemas biológicos

Abstract

Physics and mathematics have been used to explain natural phenomena. Chaos theory and fractals are found frequently in different fields including medicine. With this review, we pretend to explain in a simple way the main concepts of chaos theory and fractals and how they can be used to study biological systems.

Introducción

La medicina ha tenido un enorme desarrollo tecnológico, alcanzando un profundo nivel en el conocimiento durante el presente siglo. Para que se diera este proceso, un elemento fundamental fue la intervención de distintas disciplinas en aplicaciones específicas para resolver problemas.

Las matemáticas, han estado involucradas, sin duda, en estos avances, desde la aplicación de fórmulas sencillas (como el cálculo de la superficie corporal), hasta el procesamiento digital de imágenes de resonancia magnética.

A pesar de este protagonismo, ellas han sido para la mayoría de los médicos, un tema espinoso, árido y poco comprendido, mientras que para muchos otros, se ha convertido en una de sus más valiosas herramientas.

La teoría del caos y los fractales son términos cada vez mas encontrados en diversos ámbitos, y la medicina no es una excepción.

Es así como en las últimas dos décadas han aparecido grupos que investigan en este campo, y recientemente se comenzaron a ver con mayor frecuencia, artículos de estudios clínicos relacionados con este tema en publicaciones de revistas de gran reconocimiento como el Journal of the American College of Cardiology (JACC), Journal of the American Medical Asociation (JAMA) y New england Journal of Internal Medicine y IEEE Engineering in Medicine and Biology entre otras.

Con este artículo se pretende dar a conocer de manera sencilla y breve, los principales conceptos de la teoría de caos, mostrar la importancia que tiene esta herramienta para la medicina, indicar algunas aplicaciones médicas prácticas y generar inquietud e interés en el tema por parte de la comunidad médica.

A lo largo de la historia, el hombre ha intentado comprender, explicar los fenómenos que observaba y lo ha hecho principalmente a través de la filosofía y de la física.

Según Aristóteles, las matemáticas se originaron porque la clase sacerdotal de Egipto tenía el tiempo necesario para dedicarse a su estudio. Esto fue corroborado dos mil años mas tarde, cuando se encontró un papiro escrito por el sacerdote Ahmes en la época de 1700 a.C. titulado “Orientaciones para Conocer todas las Cosas Oscuras”. (J.R. Newman, 1994)

Un modelo matemático puede entenderse como una simplificación de la realidad que nos da una visión parcial de ésta, pero que es lo suficiente mente simple para ser manejado en la práctica con un error aceptablemente pequeño.

Sin embargo, los modelos no son completos; de lo contrario serían tan complejos como la realidad misma.

A lo largo de la historia fueron apareciendo modelos que en muchos casos sirvieron de base en la construcción de otros posteriores. Es así como a nuestra manera de ver, la teoría del caos y lo s fractales, no son mas que una herramienta (un modelo), que nos permite entender mejor el comportamiento de los sistemas dinámicos complejos. (Lea también: Conferencia Internacional: Informática, Educación y Salud en la Sociedad del Conocimiento)

El Nacimiento del Caos Deterministico

James Clerk Maxwell (1831 – 1879), es recordado mejor por sus contribuciones al campo del electromagnetismo, pero su trabajo en la teoría de gases fue también muy importante. Vivió en una época en la que el mundo intelectual estaba regido por el concepto de un universo predecible, pero en su trabajo científico y en sus escritos más filosóficos, mostró ser la primera persona en entender lo que hoy llamamos “caos determinístico”, al reconocer la importancia de los sistemas que dependen de las condiciones iniciales.

Poincaré, hizo eco a las ideas de Maxwell, llegando a la conclusión de que en muchos sistemas no es posible predecir con exactitud su evolución futura, ya que aunque se conocen las reglas que gobiernan dicho sistema, las condiciones iniciales sólo se conocen de manera aproximada, y aparecen perturbaciones impredecibles en su comportamiento. Una de las tantas preguntas que estimularon su trabajo científico fue la siguiente:

“Porqué las tormentas y las lluvias parecen venir por casualidad, de manera que la gente ve muy natural rezar para que llueva o para que haya buen clima, mientras que considerarían ridículo rezar para que haya un eclipse?” (Newman, 1994)

Los sistemas biológicos exhiben un comportamiento denominado “no lineal”, por lo tanto, frecuentemente resulta difícil predecir su comportamiento frente a un estímulo dado (Godberger A., Rigney D et al, 1991).

El análisis en sistemas biológicos ha sido tradicionalmente estadístico, ante el fracaso de los modelos determinísticos.

Existen muchos modelos matemáticos que sirven para describir el comportamiento de sistemas, valiéndose de distintas ecuaciones Sin embargo, muchos de estos modelos no se ajustan adecuadamente al comportamiento de los sistemas reales debido a que, como se mencionó, ellos tienen una dinámica no lineal.

Para tratar de solucionar el problema de la modelación matemática de ésta dinámica, se han desarrollado técnicas alternativas entre la que se encuentra la “Teoría de Caos” y los “Fractales”.

Teoría de Caos

Un modelo que nació el siglo pasado, cuya adolescencia se dio con el advenimiento de los computadores, está hoy en día, en una etapa de madurez temprana la cual lo convierte en un método válido y promisorio para estudiar el comportamiento de los sistemas biológicos.

Generalidades:

Hasta hace no menos de 50 años, se pensaba que el comportamiento de la mayoría de sistemas era determinista, es decir, obedece a leyes determinadas, y por lo tanto puede ser predicho fácilmente (Solé R. And Manrubia S., 1993). Dicho concepto está fundamentado en el modelo de Homeostasis propuesto por Claude Bernard y desarrollado posteriormente por Walter Canon.

Fruto de éste modelo homeostático – determinístico, es el concepto de la enfermedad como un desequilibrio o pérdida de la estabilidad del sistema. Dicho modelo resultaba interesante en lo teórico, pero inaplicable en lo práctico.

Por lo anterior, la herramienta primordial para tomar describir los fenómenos y tomar decisiones sobre éllos (diagnósticos o tratamientos), fueron y siguen siendo, los métodos estadísticos.

De otro lado, se pueden observar sistemas con un comportamiento global determinístico, y un comportamiento local impredecible.

Por ejemplo: se sabe que la frecuencia cardíaca de una persona normal en reposo se puede encontrar entre 60 y 100 latidos por minuto, pero es imposible predecir con exactitud, la frecuencia cardíaca en el próximo instante, a partir de un registro histórico. (Bassingthwaighte et al, 1994) (Goldberger A., 1996)

Este tipo de comportamiento se observa en sistemas que tienen componentes físicos determinísticos, pero que se encuentran influidos por factores externos variables e impredecibles.

Dicho comportamiento es aparentemente aleatorio, sin embargo, pueden ser modelados matemáticamente por ecuaciones que tienen un componente claramente determinístico, pero que involucran la incertidumbre como parte del sistema. Este tipo de comportamiento de apariencia desordenada, con un componente determinístico subyacente, se denomina comportamiento caótico.

El caos no significa desorden absoluto, significa un comportamiento regido por factores determinísticos, pero con un nivel significativo de incertidumbre en la evolución de su comportamiento.

La teoría matemática de caos pretende, entre otras cosas, dar herramientas cuantitativas para poder hacer un trabajo fundamentado en el método científico.

Términos importantes en la teoría de Caos:

– Espacio de Fase: Es una representación del comportamiento de un sistema.

Existen varias técnicas para elaborarlos. Una de ellas se logra, graficando las principales variables del sistema unas, contra otras (por ejemplo, presión contra volumen en el ciclo cardíaco); otra es relacionando una función, contra la su derivada (por ejemplo, las curvas de flujo – volumen durante el ciclo respiratorio); también se puede representar una función, contra sí misma, introduciendo un desfase (Fig. 1)

– Atractor: Es la estructura que se genera en el espacio de fase (E. Mosekilde et al, 1991, A Goldberger 1996)

Existen varios tipos de atractor ( Piekowsky I., 1992):

Atractor Puntual: Cuando las variables de un sistema tienden a un valor estable o al reposo, por ejemplo en el caso de un péndulo que se le da un estímulo y oscila hasta detenerse. (Fig. 2)

Atractor de Ciclo Límite: Se observa cuando se estudian sistemas con un comportamiento cíclico regular. Este atractor se confina a un subespacio del espacio de fase, pero las trayectorias que describen las variables son siempre iguales, siendo predecible su comportamiento en el tiempo. (Fig. 3.)

Atractor Toroidal: Cuando el sistema es cuasiperiódico genera un atractor similar al de ciclo límite, pero las trayectorias no siempre pasan por los mismos puntos, apreciándose así, el comportamiento no uniforme. (Fig. 4.)

Atractor Extraño: Es el atractor característico de los fenómenos de comportamiento caótico. Tiene formas muy variadas con trayectorias impredecibles localmente, pero circunscritas en un subespacio, presentándose así, la llamada estabilidad global con inestabilidad local. (Fig. 5.)

Dimensión del Atractor: Es una cifra que permite cuantificar las características de un atractor, y que se calcula por diferentes métodos como la dimensión de correlación porpuesta por P. Grassberger e I. Procaccia (1983).

Con la dimensión de correlación, lo que se hace es establecer, que tanta correlación existe entre un punto del atractor con sus vecinos. Un sistema de baja complejidad, exhibirá comportamientos bastante regulares, por lo cual los cambios en sus variables mostrarán gran correlación entre un dato con los anteriores o los siguientes.

Por el contrario, en un sistema totalmente aleatorio un dato, no tiene ninguna correlación con sus vecinos. En los sitemas dinamicos no lineales, tambien llamados sistemas complejos, la dimensión de correlación varía según su grado de complejidad.

Se puede decir que la dimensión de correlación mide la complejidad global del sistema(Hoyer D. Et al, 1997), y tiene la grán virtud de que,permite establecer el número de variables independientes que determinan el comportamiento del sistema.

Fractales

Según B. Mandelbrot, se denomina fractal a aquel objeto o estructura que consta de fragmentos de orientación y tamaño variable pero de aspecto similar (Grassberger and Procaccia, 1983, Goldberger, 1991).

Sus características le confieren propiedades geométricas especiales en cuanto a su longitud, y la relación entre el área de superficie y su volumen. Estas propiedades especiales hacen que se requieran otras herramientas matemáticas diferentes a las convencionales para cuantificar sus características.

En el cuerpo humano existen muchas estructuras con geometría fractal, como son la red vascular, el árbol bronquial, la red de neuronas, la mucosa intestinal, la disposición de las glándulas, etc. (Bassingthwaighte et al, 1994)

La importancia de la geometría fractal en el organismo es que permite optimizar la función de los sistemas ya que tienen una gran superficie sin ser órganos demasiado voluminosos. Los pulmones, por ejemplo, tienen un área de dintercambio de aproximadamente 100 metros cuadrados (una cancha de basketball), mientras que el volumen total es de unos 7 a 8 litros.

Así como existen estructuras con geometría fractal, existen fenómenos con características fractales, ya que poseen patrones de comportamiento que se repiten en diferentes escalas de tiempo. Estos fenómenos pueden ser caracterizados con el uso de las herramientas matemáticas de la geometría fractal.

La teoría fractal es por lo tanto, una herramienta válida y útil para el estudio de fenómenos dinámicos en el cuerpo humano, y permite una aproximación más acorde con la complejidad y la no linealidad de dichos procesos. (H. P. Koch, 1993)

Dimensión Fractal: Por medio de este índice matemático, se pueden cuantificar las características de los objetos o fenómenos fractales.

Hay varios métodos para calcular la dimensión fractal como el exponente de Hurst (R. Solé and S. Manrubia, 1993, Bassingthwaighte et al., 1994)

Interpretación de la Dimensión Fractal:

El término “dimensión”, en geometría, se refiere generalmente a la dimensión euclidiana clásica en la que una dimensión es una línea, dos dimensiones conforman un plano y tres dimensiones un volumen.

Si un cubo se parte en 2 por cada una de sus caras, aparecen 8 cubos. Si se dividiera en 3 partes en cada una de sus caras, aparecerían 27 cubitos. Se puede generalizar éste fenómeno con una ley potencial representada por la siguiente ecuación:

N= F D

Donde N es el número de piezas que aparecen.

F es el factor de escala

D es la dimensión del objeto.

Para el caso del cubo, 8=23 y 27=33.

Desde este punto de vista, el cubo tiene una dimensión de 3.

La geometría clásica, a pesar de su gran utilidad, tiene limitaciones cuando se pretenden medir estructuras naturales.

Quien quiera medir la superficie de una piedra, trataría de aproximarla a una esfera o a un cubo; de igual manera, si se desea saber cuál es la superficie de absorción del intestino, la medida cambiará según la resolución que utilice para hacerlo, debido a que el intestino presenta pliegues desde el nivel macroscópico hasta el microscópico.

Una línea irregular que tiende a llenar un espacio bidimensional tiene una dimensión fraccionaria entre 1 y 2, así como un plano que se pliega, tiende a llenar un espacio tridimensional, teniendo una dimensión fractal entre 2 y 3.

Muchas cosas en la naturaleza (como las estructuras porosas, interfases o límites entre estructuras, superficies rugosas, objetos que se ramifican, etc.) tienen características fractales. (H.P. Koch, 1993).

De esta manera, la dimensión fractal es un índice que permite cuantificar mejor las características geométricas de los objetos que tienen geometría fractal (P.Grassberger, 1983)

Los fenómenos con comportamiento fractal se pueden representar por medio de gráficos de tendencia; a estos gráficos se les puede medir la dimensión fractal, logrando así cuantificar la complejidad de su dinámica. (R. Eberhart, 1969)

Bibliografia

1. J. Bassingthwaighte, L Liebovitch and B. West , “Fractal Physiology”, American Physiological Society, 1994.
2. R. Eberhart, “Chaos Theory for the Biomedical Engineer”, IEEE Engineering in Medicne and Biology Magazine; September 1969:41-45.
3. Goldberger, D. Ringey and B. West, “Caos y fractales en la fisiología humana. Scientific American, Primera edición, 109-116, 1991.
4. Goldberger, “Non-linear Dynamics for Clinicians. Chaos Theory, Fractals and Compexity at the Bedside”, Lancet, 347; 1312:1314. 1996.
5. P. Grassberger and I. Procaccia, “Characterization of Strange Atractors”, Phys. Rev. Lett. 50; 346:349, 1983.
6. D. Hoyer and R. Schmidt, “Nonlinear Analysis of Heart Rate And Respiratory Dynamics”. IEEE Engineering in Medicine and Biology, January/February 1997; 31:39.
7. H. P. Koch, “The Concept of Fractals and the Pharmaceutical Sciences”, Pharmazie; 48:643-655, 1993.
8. E. Mosekilde and L. Mosekilde, “Complexity, Chaos and Biological Evolution”. NATO Sientific Affairs Division, Plenum Press, New York, 1991.
9. J.R. Newman, “El Mundo de las Matemáticas”, Ed. Grijalbo, S.A.. 1994.
10. W.S. McCulloch, and W. Pitts, “A Logical Calculus of the Ideas Imminent in Nervous Activity”, Bulletin of Mathematicla Biophysisc, 5, 115-133, 1943.
11. Piekowsky, “Juega Dios a los Dados?”, Mundo Libro. Borja, 1992.
12. R. Solé y S. Manrubia, “Orden y Caos en Sistemas Complejos”, Edicions UPC, España, 1993.